高中数列公式总结

引言

数列是数学中重要的一个概念，尤其在高考试卷中，常常以等差、等比数列为载体考查学生的知识掌握程度。本文将从等比数列的核心知识点出发，整理出本章的重要内容，供学生复习和参考。

等比数列的基本定义

1. 等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q ≠ 0)。

例如：1, 2, 4, 8, … 是一个公比q=2的等比数列。

2. 等比中项

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项，a, G, b 成等比数列，则 G² = a·b。

3. 等比数列的通项公式

an = a₁ · q^(n−1)

其中：a₁是首项，q是公比，n为自然数.

等比数列的重要性质

1. 等比中项的特性

(i) 从等比数列中任意三项起，中间的两项总是夹在中间的两项之间，形成一个新的等比数列。

(ii) 如果有四个实数a, G, b, c成等比数列，则G² = ab = bc。

2. 等比数列前n项和

Sn = a₁(1−qⁿ)/(1−q)，当q ≠ 1时；或 Sn = n·a₁（当q = 1时）。

3. 每k项的等差性质

(i) 在等比数列中，每相邻两项之和构成一个新的等差数列。

(ii) 当k为偶数时，若存在第n项，则第n−1项是前n项与后n项的几何平均.

4. 等比数列的对称性质

(i) a₁ · an = am · am−1 （其中 m n = 2t）。

(ii) 在等比数列中，首末两项之积等于中间两项乘积.

5. 等比数列的性质推广

(i) 如果{an}是一个等比数列，则ak·am = an·an−1 （其中 k m = n 1）。

(ii) 对于正项的等比数列，其指数幂构成一个新的等比数列。

等比数列知识点总结

1. 等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列。

(这个常数叫做公比q)

(例如：1, 2, 4, 8, … 是一个公比q=2的等比数列。

2. 等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G² = a·b。

(例如：a, G, b 成等比数列，则 G 是 a与b的等比中项。

3. 等比数列通项公式

an = a₁ · q^(n−1)

(其中a₁是首项，q是公比，n为正整数)

(例如：若等比数列为2, 6, 18,…，则a₁=2，q=3)。

4. 等比数列前n项和

Sn = a₁(1−qⁿ)/(1−q)，当q ≠ 1时；或 Sn = n·a₁（当q = 1时）。

(例如：若等比数列为2, 6, 18,…，则a₁=2，q=3，则前5项和为S₅ = 2(1−3⁵)/(1−3) = 242.

5. 等比中项的特性

(i) 若等比数列有四个项a, G, b, c，则中间两项满足G² = a·b = b·c。

(ii) 如果存在第n项，那么有：(G₁₂)² = a₁·b₁₂ = (G₆·G₇)² 等。

6. 等比数列前n项和的性质

(i) 当q ≠ 1时，Sn = n·a₁ q·(an−a₁)/(q−1)

(ii) 当q = −1时，Sn = a₁ (an)/2.

(例如：若等比数列{aₙ}的首项为3，公比为−1，则前5项和S₅=3 (−3) 3 (−3) 3 = 4。

7. 等比数列对称性质

(i) 若{aₙ}是一个等比数列，则ak·am = an·an−1 （其中k m = n 1）。

(ii) 等比数列中的指数幂构成一个新的等比数列，公比不变。

8. 等差与等比的结合

(i) 如果{aₙ}是一个等比数列，则ak, a_{k m}, a_{k 2m}, … 成一个等差数列。

(ii) 若{aₙ}和{bₙ}都是等比数列，且公比分别为q₁、q₂，则{aₙ·bₙ}也是一个等比数列，公比为q₁·q₂。

9. 等比数列的实际应用

(i) 人口增长模型：若某地每年的人口增长率为r，则人口数量随年数n的函数关系式为P(n)=P₀(1 r)^n.

(ii) 高尔顿板实验中，小球在每击打后沿等比概率下向左右两边扩散。

综上所述，本章重点在于掌握等比数列的核心概念及其重要性质，并熟练运用通项公式和前n项和的计算方法解决实际问题。希望以上内容对你的复习有所帮助！